(19题)本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一:
(Ⅰ)因为平面
所以
因为为等腰直角三角形,,
所以
即
因为,
,
所以
(Ⅱ)取BE的中点N,连结
所以为平行四边形,所以
因为在平面内,不在平面内,
所以
(Ⅲ)由
作交的延长线与则,
作
因此为二面角的平面角
因此
所以
设
在Rt△BGH中∠GBH=,BG=AB+AG=1+=。
在Rt△FGH中,
故二面角F-BD-A的大小为 ………………….12分
解法二:
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB,
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF
平面ABEF 平面ABCD= AB
所以AE⊥平面ABCD
所以AE⊥AD
因此,AD,AB,AE两两垂直,建立如图所示的直角坐
标系.
设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),
E(0,0,1),C(1,1,0)
因为FA=FE,∠AEF=,
所以∠AEF=.
从而,F(0,,).
.
所以EF⊥BE,EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC平面BCE,BCBE=B,
所以EF⊥平面BCE. …………………………………4分
(Ⅱ)M(0,0,).P(1, ,0).
从而=(,).
于是
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,
故PM∥平面BCE. ………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z)
=(1,1,0),
即
去y=1,则x=1,z=3,从=(0,0,3)
取平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)
故二面角F-BD-A的大小为. ……………………….12分
(20)本小题考查函数、函数极值的概念,考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。
解:(Ⅰ)由已知,切点为(2,0)故有=0,即4b+c+3=0 …….①
,由已知.
得 …..② 联立①、②,解得c=1,b=1
于是函数解析式为 ……………..4分
(Ⅱ)
,令
当函数有极值时,△0,方程有实根,
由△=4(1m)0,得m 1
①当m=1时,有实根,在左右两侧均有,故
函数无极值。
②m 1时,有两个实根,,,
当x变化时,、的变化情况如下表:
故在m时,函数有极值:
当时有极大值;
当时有极大值。………………………12分
(21)本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。
解:(Ⅰ)由条件有解得a=,c=1
所以,所求椭圆的方程为 ………………….4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知、
若直线L的斜率不存在,则直线L的方程为x= —1,
将x= —1代入椭圆方程的
不妨设M 、N
,与题设矛盾。
∴直线的斜率存在
设直线的斜率为,则直线的方程为
设
联立消得
由根与系数的关系知,从而
又∵,
∴
化简得
解得或(舍)
∴所求直线的方程为或
(22)本小题主要考查数列、不等式等基础知识,化归思想等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解:(Ⅰ)当时,
又∵
∴,即
∴数列成等比数列,其首项
∴
(Ⅱ)不存在正整数,使得成立
下证:对任意的正整数,都有成立
由(Ⅰ)知