三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

在中，为锐角，角所对应的边分别为，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。

本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。

解：（Ⅰ）、为锐角，，

又，

，，

…………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.

由正弦定理得

，即，

，

，

……………………………………12分

18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3

,

，，

所以的分布列为

所以， ……………………12分

19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求证：；

（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（III）求二面角的大小。

本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角

等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：

（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥.

因为为等腰直角三角形， ，

所以

又因为，

所以，

即⊥,

所以⊥平面。 ……………………………………4分

（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE ……………………………………8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA=FE, ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=.

FG=AF·sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

GH=BG·sinGBH=·=

在Rt△FGH中，tanFHG==

故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分

解法二:

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ) M（0，0，）.P（1,,0）.

从而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE. ………………………………8分

(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）

=(1，1，0)，

即

去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）

取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小为. ……………………………………12分

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