2009年普通高校招生全国统一考试

理数数学试题参考答案

一．选择题

(1) A(2) D (3) C (4) A (5) A (6) B

(7) C(8) D (9) C (10) B (11) A (12) C

二．填空题

(13) (14) (15) 140 (16) 10

三．解答题

(17) 解：

方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） .……….

②第一步：计算AM . 由正弦定理　；

第二步：计算AN . 由正弦定理　；

第三步：计算MN. 由余弦定理 .

方案二：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.

②第一步：计算BM . 由正弦定理　；

第二步：计算BN . 由正弦定理　；

第三步：计算MN . 由余弦定理

(18) 解：

（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为

　　　 .

（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.

故，得， ，得 . 频率分布直方图如下

从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .

（ii） ，

，

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .

（19）解法一：

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(Ⅱ)设正方形边长，则。

又，所以,

连，由（Ⅰ）知,所以,

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

设底面边长为，则高。

于是

故

从而

(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

（Ⅲ）在棱上存在一点使.

由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，

且

设

则

而

即当时，

而不在平面内，故

（20）解:

(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

（i）时。化简得

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

（ii）时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

（21）解：

（Ⅰ）当时，，故

当

当

从而单调减少.

(Ⅱ)

由条件得：从而

因为所以

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得

于是

（22）解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD，CE是角平分线，

所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°，

所以B,D,H,E四点共圆.

（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°

由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，

可得∠CEF=30°.

所以CE平分∠DEF.

（23）解：

（Ⅰ）

为圆心是（，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当时，

为直线

从而当时，

（24）解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）依题意，x满足

{

解不等式组，其解集为【9，23】

所以

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